ГДЗ по алгебре 10 класс Колягин, номер 1130

№

Доказательство тригонометрических тождеств

Доказать тождество: 1) $\frac{\sin(2\alpha-3\pi)+2\cos(\frac{7\pi}{6}+2\alpha)}{2\cos(\frac\pi6-2\alpha)+\sqrt3\cos(2\alpha-3\pi)}=-\sqrt3\operatorname{ctg}2\alpha$ ; 2) $\frac{2\cos(\frac\pi6-2\alpha)-\sqrt3\sin(2{,}5\pi-2\alpha)}{\cos(4{,}5\pi-2\alpha)+2\cos(\frac\pi6+2\alpha)}=\frac{\operatorname{tg}2\alpha}{\sqrt3}$ .

Решение

Обозначим для краткости , . Применяем формулы приведения и формулы косинуса суммы и разности.

, поскольку синус меняет знак при сдвиге на нечётное число .

Поэтому числитель равен .

Далее , а . Знаменатель равен .

При дробь существует и равна . Это и требовалось доказать в области определения обеих частей.

Формула косинуса разности даёт .

Так как , по периодичности и формуле приведения . Числитель поэтому равен .

Аналогично .

. Значит, знаменатель равен .

При исходная дробь равна . Следовательно, второе тождество также доказано на своей области определения.

Ответ

Тождество верно при ; ) тождество верно при .

Помогло?

Номер 1130