№ Уравнение без целых решений
Докажите, что уравнение x2−y2=30 не имеет целых решений.
Решение
Разложим левую часть по формуле разности квадратов: .
Заметим, что числа и одинаковой чётности: их сумма чётна, значит либо оба числа нечётны, либо оба чётны.
Если оба числа и нечётны, их произведение нечётно. Но — чётное число, противоречие.
Если оба числа и чётны, их произведение делится на . Но не делится на (), противоречие.
В обоих случаях получили противоречие, значит целых и , удовлетворяющих уравнению , не существует.
