№ Наименьшее число, дающее квадрат и куб
Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на 3 — кубом натурального числа.
Решение
Будем искать число в виде (других простых множителей брать невыгодно — они только увеличат число, а участвовать в условии им незачем).
Число должно быть квадратом — значит, оба показателя должны быть чётными: чётно (то есть нечётно) и чётно.
Число должно быть кубом — значит, оба показателя должны делиться на : делится на , а делится на (то есть даёт остаток при делении на ).
Наименьшее : нечётное и кратное одновременно — это .
Наименьшее : чётное и дающее остаток при делении на — это ( чётно и ).
Значит, .
Проверка: ; .
