Обозначим средним из пяти последовательных чисел (тогда сами числа: ). Найдём сумму их квадратов:
.
Выясним, может ли быть квадратом натурального числа. Так как — простое число, для этого нужно, чтобы делило и второй множитель (иначе в разложении на множители число стояло бы в нечётной, первой, степени, а у квадрата все степени простых множителей чётные).
Проверим остатки квадратов при делении на . Возможные остатки числа при делении на : , , , , ; тогда остатки равны . Значит, при делении на может давать только остатки , или .
Число делится на тогда, когда даёт остаток при делении на . Но, как показано выше, остаток у квадрата натурального числа не встречается.
Значит, никогда не делится на , поэтому никогда не является квадратом натурального числа.
