ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин, номер 937

№

Доказательство неравенств

Доказать неравенство: 1) $\dfrac ab+\dfrac bc+\dfrac ca\geqslant3$ , если $a>0$ , $b>0$ , $c>0$ ; 2) $2a^2+b^2+c^2\geqslant2a(b+c)$ .

Решение

Все три дроби положительны. По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим их сумма не меньше трёхкратного кубического корня из произведения: . Сокращаем произведение: . Значит, сумма не меньше . Равенство достигается при .
Переносим правую часть влево и группируем слагаемые: . Каждый квадрат неотрицателен, поэтому их сумма неотрицательна. Равенство возможно ровно при .

Ответ

Оба неравенства доказаны; равенство при .

Помогло?

Номер 937