Гл. ВП Обратимость монотонной функции
Доказать, что монотонная функция является обратимой.
Решение
Пусть функция строго возрастает на своей области определения. Возьмём любые два разных аргумента и и для определённости . По определению строгого возрастания , то есть значения различны. Следовательно, одно значение функции не может соответствовать двум разным аргументам. Каждому значению из множества значений соответствует хотя бы один аргумент по определению множества значений и не более одного по доказанному. Значит, аргумент находится однозначно и существует обратная функция. При строгом убывании рассуждение то же, только . В этом утверждении под монотонностью нужна строгая монотонность: постоянная функция обратимой не является.
Ответ
Строго монотонная функция обратима, потому что разные аргументы дают разные значения.
