Середины сторон правильного двенадцатиугольника соединены через одну так, что полученной фигурой является правильный шестиугольник. Найдите сторону данного двенадцатиугольника, если сторона полученного шестиугольника равна a.
Дано: правильный двенадцатиугольник; шестиугольник
Найти: сторону
Решение.
-
Середина стороны правильного многоугольника — точка касания вписанной окружности. Поэтому все шесть вершин шестиугольника лежат на вписанной окружности двенадцатиугольника, и радиус
этой окружности — радиус окружности, описанной около шестиугольника. У правильного шестиугольника сторона равна радиусу описанной окружности, поэтому . -
Центральный угол, опирающийся на сторону двенадцатиугольника, равен
. В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом к середине стороны, половиной стороны и отрезком от центра до вершины, угол при центре равен , поэтому
-
Найдём
. В прямоугольном треугольнике с , , пусть , тогда , . Продолжим за на отрезок . Треугольник равнобедренный, внешний угол равен сумме двух равных углов при основании, значит, . Из прямоугольного треугольника :
-
Следовательно,
.
