ГДЗ по алгебре 8 класс Макарычев, номер 1319

№

Квадраты и кубы чисел

Учитель раздал ученикам 27 карточек, на каждой из которых было написано целое число, и попросил вместо этого числа написать по очереди на доске куб этого числа или его квадрат. Возникающие одинаковые числа с доски стирались. Приведите пример исходного набора чисел, чтобы на доске в итоге оказалось наименьшее возможное количество чисел, если все исходные числа на карточках различны?

Решение

Заметим, что всего на доску будет записано чисел (по одному с каждой карточки), а стирание всегда убирает числа парами (как только одинаковое число появляется второй раз, обе его записи стираются). Значит после всех стираний на доске останется число, той же чётности, что и , то есть нечётное количество чисел; в частности, чисел остаться не может, и наименьшее возможное количество — не меньше .

Покажем, что число действительно можно получить. Возьмём карточки с числами

— это различных целых чисел.

Для каждой пары чисел и (где ) выберем операцию «квадрат»: тогда с карточки на доску попадёт число , и с карточки — тоже число . Эти два одинаковых числа стирают друг друга, то есть все карточек с числами в итоге не оставляют на доске следа.

Для карточки с числом выберем любую операцию, например квадрат: . Это число больше ни с чем не совпадает (все остальные записи — вида при , то есть парами стёрлись ещё до появления числа , либо равны для , что отлично от ), поэтому оно остаётся на доске одно.

Итак, на доске останется единственное число — , и это наименьшее возможное количество.

Ответ

Например, карточки с числами : для каждой пары выбираем квадрат — записи взаимно уничтожаются, а остаётся одно. Наименьшее возможное количество чисел на доске — (меньше невозможно, так как всего записывается нечётное число чисел, а стирание происходит парами).

Помогло?

Номер 1319