ГДЗ по алгебре 8 класс Макарычев, номер 1026

№

Доказательство через среднее арифметическое и геометрическое

Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, докажите, что при $a>0$ , $b>0$ , $c>0$ верно неравенство:
а) $ac+\dfrac bc\geqslant2\sqrt{ab}$ ;
б) $\left(1+\dfrac{a^2}{bc}\right)\left(1+\dfrac{b^2}{ac}\right)\left(1+\dfrac{c^2}{ab}\right)\geqslant8$ .

Решение

а) Числа и положительны. По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим:

Умножив обе части на , получаем .

б) Для каждого множителя применим то же неравенство (к числам и соответствующей дроби):

Все части положительны, поэтому неравенства можно перемножить:

Ответ

Оба неравенства доказаны; равенство достигается при .

Помогло?

Номер 1026