№ Доказательство неравенства с корнями через сравнение квадратов
Докажите, что
(a+c)(b+d)⩾ab+cd,
если a>0, b>0, c>0, d>0.
Решение
Обе части неравенства неотрицательны, поэтому неравенство равносильно неравенству квадратов обеих частей:
Раскроем обе части:
Неравенство принимает вид
(так как ). А это — верное неравенство между суммой двух положительных чисел , и удвоенным корнем из их произведения (среднее арифметическое не меньше среднего геометрического). Значит, исходное неравенство доказано (равенство — при ).
Ответ
После возведения в квадрат неравенство сводится к — верно всегда при .
Помогло?
Нет твоего задания?Сфоткай, и ДЗмэн решит за пару секунд.
