ГДЗ по алгебре 8 класс Макарычев, номер 1025

№

Доказательство неравенств для положительных чисел

Докажите, что при $a>0$ и $b>0$ верно неравенство:
а) $(a+b)\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right)\geqslant4$ ;
б) $\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{a^2}\geqslant\dfrac1a+\dfrac1b$ .

Решение

а) Раскроем скобки:

Так как , то ; разделив на , получаем . Значит,

б) Составим разность:

Удобнее сгруппировать иначе:

Так как , то

поскольку и , . Значит, .

Ответ

Оба неравенства доказаны; равенство в обоих случаях достигается при .

Помогло?

Номер 1025