ГДЗ по алгебре 8 класс Макарычев, номер 1012

№

Доказательство неравенства с корнями через рационализацию

Докажите, что при любом $a$ , большем 1, верно неравенство

\frac1{\sqrt a}<\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}.

Решение

Умножим и разделим правую часть на сопряжённое выражение:

Тогда исходное неравенство равносильно неравенству

При

все корни определены и положительны, поэтому умножим обе части на положительное число

Обе части положительны, возведём в квадрат:

Так как

, обе части снова можно возвести в квадрат:

, то есть

— верно всегда. Значит, неравенство

верно при любом

, а потому верны и все равносильные ему неравенства, в том числе исходное:

что и требовалось доказать.

Ответ

После рационализации и возведения в квадрат неравенство сводится к , то есть к , что верно при любом .

Помогло?ответ совпал с учебником

Номер 1012