ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин, номер 706

№

Делимость произведения

Доказать, что произведение любых $n$ последовательных натуральных чисел делится на $n!$ .

Решение

Обозначим первое из последовательных чисел через , где — целое неотрицательное число. Тогда всё произведение равно .

По определению числа сочетаний .

Число сочетаний — натуральное число: оно подсчитывает способы выбрать элементов из . Поэтому дробь справа целая.

Следовательно, , то есть данное произведение кратно .

Ответ

Произведение любых последовательных натуральных чисел делится на .

Помогло?

Номер 706