ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин, номер 702

№

Делимость произведения

Доказать, что $n^5-5n^3+4n$ делится на 120 при $n\in\mathbb N$ .

Решение

Вынесем за скобку и разложим квадратный трёхчлен относительно : .

По формуле разности квадратов .

При это произведение пяти последовательных натуральных чисел. Оно равно , потому что — целое число сочетаний.

, поэтому произведение делится на . При или один из множителей равен нулю; нуль тоже делится на . Утверждение доказано для всех натуральных .

Ответ

делится на .

Помогло?

Номер 702