ГДЗ по алгебре 10-11 класс Алимов, номер 1263

№

Сравнение иррациональных чисел, пересечение промежутков

Имеют ли общие точки промежутки:

$[1; 3\sqrt2 + 2\sqrt7]$ и $[3\sqrt3 + 4; 15]$ ;
$(0; \sqrt{27} + \sqrt6)$ и $(\sqrt{48} - 1; 10)$ ;
$[2; 2\sqrt5 + 2\sqrt6]$ и $(3\sqrt2 + \sqrt{22}; 11)$ ;
$[1; 1 + \sqrt3]$ и $\left(\dfrac{2}{\sqrt3 - 1}; 4\right)$ ?

Решение

Два промежутка имеют общие точки, если правый конец «левого» промежутка больше левого конца «правого» (или равен ему, когда оба конца принадлежат промежуткам). Сравниваем числа с помощью оценок корней.

Сравним и . Оценим: , значит ; , значит . Поэтому . Далее , значит и . Итак, . Правый конец первого промежутка больше левого конца второго, и . Общие точки есть — отрезок .
Сравним и . Имеем , . Тогда . Это верно: . Значит, , причём и . Общие точки есть — интервал .
Сравним и . Оценки: , , поэтому . Далее и , поэтому . Так как , левый конец второго промежутка меньше правого конца первого. Общие точки есть.
Упростим левый конец второго промежутка, освободившись от иррациональности в знаменателе:

Правый конец первого промежутка равен и принадлежит ему (скобка квадратная), а второй промежуток начинается ровно в этой точке, но она ему не принадлежит (скобка круглая). Всякая точка первого промежутка не превосходит , а всякая точка второго строго больше . Общих точек нет.

💡 Почему так

Для сравнения иррациональных чисел заменяют их приближёнными значениями с избытком и недостатком, чтобы гарантировать знак неравенства.

Ответ

имеют;
имеют;
имеют;
не имеют

Помогло?

Номер 1263