ГДЗ по алгебре 10-11 класс Алимов, номер 1261

№

Доказательство рациональности и иррациональности корня

Доказать, что если $a$ и $b$ — натуральные числа и $\sqrt{ab}$ — рациональное число, то $\sqrt{\frac ab}$ также рациональное число, а если $\sqrt{ab}$ — иррациональное число, то и $\sqrt{\frac ab}$ — иррациональное число.

Решение

Преобразуем дробь под корнем, домножив числитель и знаменатель на (число натуральное, значит, положительное):

Итак,

, то есть

. Эти два равенства связывают числа

умножением и делением на натуральное число

Пусть рационально. Частное рационального числа и натурального числа рационально. Значит, — рациональное число.
Пусть иррационально. Допустим, что рационально. Тогда произведение рационального числа на натуральное рационально, то есть рационально — а это противоречит условию. Значит, предположение неверно и иррационально.

💡 Почему так

Метод «от противного»: предположили противоположное и пришли к противоречию с условием. Использовано, что произведение и частное рационального числа и ненулевого рационального числа — рациональное число.

Ответ

Доказано.

Помогло?

Номер 1261