ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин, номер 231

№

Общая касательная к двум графикам

Показать, что графики двух данных функций имеют одну общую точку и в этой точке — общую касательную; написать уравнение этой касательной: 1) $y=x^4$ , $y=x^6+2x^2$ ; 2) $y=x^4$ , $y=x^3-3x^2$ ; 3) $y=(x+2)^2$ , $y=2-x^2$ ; 4) $y=x(2+x)$ , $y=x(2-x)$ ; 5) $y=\sqrt{x+1}$ , $y=x^2+\frac13x+1$ ; 6) $y=\sqrt{x+1}$ , $y=2-\sqrt{1-x}$ .

Решение

Общая касательная в общей точке существует, когда там совпадают значения обеих функций и их производные. Проверим эти два условия по пунктам.

Из получаем . Здесь , значит, единственная общая точка . Производные и в нуле равны . Общая касательная: .
Равенство функций даёт . Так как , общая точка только . Производные и там равны , следовательно, касательная .
приводит к . Поэтому , . Производные и в этой точке обе равны . По формуле касательной , то есть .
даёт , значит, общая точка . Производные и при равны . Поэтому общая касательная .
При обе функции действительно равны , однако производные различны: , а . Более того, условие о единственной общей точке тоже неверно: при равенство сводится к ; кубический множитель меняет знак между и , давая ещё одну общую точку. В напечатанном условии пункта ) есть ошибка, и выполнить требование о единственной общей точке с общей касательной нельзя.
ОДЗ обеих функций: . Равенство означает . Обе части неотрицательны, поэтому возводим в квадрат: . Отсюда , и . Общая точка . Производные и в нуле обе равны . Следовательно, общая касательная .

Ответ

;
;
;
;
утверждение неверно для напечатанных функций;
.

Помогло?ответ совпал с учебником

Номер 231