№ Исследование квадратичной функции
Дана функция y=x2−2x−3.
- Построить её график и найти значения x, при которых y(x)<0.
- Доказать, что функция возрастает на отрезке [1;4].
- Найти значение x, при котором функция принимает наименьшее значение.
- Найти значения x, при которых график функции y=x2−2x−3 лежит выше графика функции y=−2x+1.
- Записать уравнение касательной к параболе y=x2−2x−3 в точке с абсциссой, равной 2.
Решение
) Парабола с ветвями вверх. Абсцисса вершины , . Нули: , по теореме Виета , . Пересечение с : .
Функция отрицательна, когда график лежит ниже оси , то есть между корнями: .
) Возьмём . Тогда
Здесь
, а
(так как
,
), значит,
. Произведение положительно:
, функция возрастает на
.
) Ветви вверх, наименьшее значение в вершине: (значение ).
) Нужно . Переносим: , , откуда или .
) Уравнение касательной: . Здесь , . При : , . Тогда .
💡 Почему так
Касательная к графику в точке с абсциссой имеет угловой коэффициент и проходит через точку .
