Идея. Возьмём фигуру , не имеющую оси симметрии (например, разносторонний прямоугольный треугольник — «лопасть»), и добавим к ней её образы при поворотах вокруг точки . Если угол поворота таков, что поворотами на лопасть последовательно переходит в другие лопасти и, наконец, возвращается в исходное положение, то вся фигура (из нескольких лопастей) при повороте на переходит сама в себя.
) Поворот на . Берём точку и треугольник-лопасть с катетами и (прямой угол при ). Поворачиваем его вокруг на , и и объединяем четыре лопасти (получается «вертушка» с четырьмя лопастями).
При повороте на каждая лопасть переходит в соседнюю, а четвёртая — в первую, то есть вся фигура переходит в себя.
) Поворот на . Те же лопасти, но три штуки: поворачиваем на и .
При повороте на лопасти переходят друг в друга по кругу, фигура переходит в себя.
Почему оси симметрии нет. Ось симметрии такой «вертушки» могла бы проходить только через центр (иначе центр лопастей не перешёл бы в себя). Но у каждой лопасти длинный катет лежит на луче с началом , а короткий катет отходит от него в одну и ту же сторону — против часовой стрелки. Осевая симметрия (движение) переводит лопасть в лопасть того же размера, у которой короткий катет отходит от длинного уже в другую сторону — по часовой стрелке, а таких лопастей в фигуре нет. Значит, ни одна прямая не является осью симметрии.
