Номер 709 ГДЗ Геометрия 9 класс, Мерзляк 2022, страница 174

Дано: прямая проходит через точку — центр симметрии.

Доказать: образ прямой при симметрии относительно точки совпадает с .

1. Возьмём на прямой произвольную точку . Если , то её образ — сама точка , она лежит на .

2. Пусть . Образ точки при симметрии относительно — это такая точка, что — середина отрезка (определение центральной симметрии). Значит, лежит на луче, продолжающем за точку , то есть на прямой .

3. Прямая — это и есть прямая (через две различные точки и проходит единственная прямая, а через них проходит). Поэтому .

4. Итак, образ любой точки прямой лежит на . Обратно, любая точка прямой сама является образом точки , симметричной ей относительно , а по пункту лежит на . Значит, каждая точка прямой получается как образ точки этой же прямой.

Следовательно, образ прямой — вся прямая .