Номер 716 ГДЗ Геометрия 9 класс, Мерзляк 2022, страница 174

Доказываем от противного.

Пусть луч с началом имеет центр симметрии , то есть для любой точки луча симметричная ей относительно точка тоже лежит на луче.

Введём на прямой, содержащей луч, координату: точка имеет координату , точки луча — числа .

1. Если не лежит на этой прямой, то образ любой точки луча лежит на прямой, параллельной данной (образ прямой при симметрии — параллельная ей прямая, задача § ) и отличной от неё, то есть не на луче. Противоречие.

2. Пусть лежит на прямой и имеет координату . Точка с координатой переходит в точку с координатой (тогда — середина: ). Выберем . Это положительное число, то есть точка лежит на луче. Её образ имеет координату , то есть лежит вне луча. На рисунке: — точка с координатой , — точка с координатой , а её образ имеет координату .

В обоих случаях получили противоречие, значит, центра симметрии у луча нет.