Номер 717 ГДЗ Геометрия 9 класс, Мерзляк 2022, страница 174

Дано: четырёхугольник имеет центр симметрии .

Доказать: — параллелограмм.

При симметрии относительно четырёхугольник переходит в себя, а вершины переходят в вершины (центральная симметрия — движение). Образ каждой вершины — другая вершина, так как не может быть вершиной: если , то образ вершины (вершина , с серединой отрезка ) оказался бы точкой или , лежащей с и на одной прямой, а это невозможно для четырёхугольника (у него нет трёх вершин на одной прямой).

Значит, вершины разбиваются на пары, симметричные относительно , и — середина отрезка, соединяющего каждую пару. Возможны три случая.

1. , . Тогда — середина сторон и , то есть эти противоположные стороны имеют общую точку . У четырёхугольника противоположные стороны не пересекаются. Случай невозможен.

2. , . Аналогично противоположные стороны и имели бы общую точку . Невозможно.

3. , . Тогда — середина диагонали и середина диагонали : диагонали и точкой пересечения делятся пополам.

Остаётся третий случай. Четырёхугольник, диагонали которого пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, — параллелограмм (признак параллелограмма).