Дано: , .
Найти: точку , поворот вокруг которой против часовой стрелки на переводит отрезок в отрезок .
Анализ. Отрезок переходит в : при этом точка переходит в , а — в (на рисунке , , расположены так, что обход идёт против часовой стрелки). Поворот сохраняет расстояние до центра, поэтому и : точка лежит на серединных перпендикулярах отрезков и .
Построение. Строим серединные перпендикуляры к отрезкам и ; точка пересечения — искомая точка .
Доказательство. Треугольник равнобедренный () с углом при вершине, значит, он равносторонний (углы при основании ). Точка равноудалена от вершин: . В равностороннем треугольнике серединный перпендикуляр стороны является биссектрисой противоположного угла, поэтому . Треугольник равнобедренный (), значит, и
Так же
. Итак,
,
и лучи
получаются поворотом на
против часовой стрелки. Значит, поворот вокруг
на
переводит
в
и
в
, а отрезок
— в отрезок
.
