ГДЗ по алгебре 9 класс Макарычев, номер 345

№

Задача-исследование: число корней биквадратного уравнения в зависимости от параметра

(Задача-исследование.) При каких значениях $k$ биквадратное уравнение $x^4-13x^2+k=0$ :
а) имеет четыре корня;
б) имеет два корня;
в) не имеет корней?

Обозначьте $x^2$ через $y$ . Выясните, при каких значениях $k$ полученное квадратное уравнение имеет два корня; имеет один корень; не имеет корней.
Укажите знаки корней квадратного уравнения с переменной $y$ , если корни существуют.
Сделайте вывод о числе корней заданного уравнения в зависимости от значения $k$ .

Решение

Обозначим (). Уравнение принимает вид . Его дискриминант .

Два корня — при , то есть .

Один корень (двукратный) — при , то есть ; тогда .

Нет корней — при , то есть .

По теореме Виета, когда корни существуют, их сумма , а произведение .

Если , произведение положительно и сумма положительна — оба корня положительны.

Если , произведение отрицательно — корни разных знаков (один положительный, другой отрицательный).

Если , один из корней равен нулю (уравнение даёт или ).

Каждому положительному корню отвечают два значения , корню — одно значение , а отрицательному не отвечает ни одного значения .

При : и оба корня положительны и различны — четыре корня .

При : единственный корень — ему отвечают два значения , то есть два корня .

При : один корень положителен, другой отрицателен — положительному отвечают два значения , отрицательному — ни одного, итого два корня .

При : корней нет — нет и корней .

Отдельно отметим случай : корни и дают и — три корня (ни четыре, ни два, ни ноль); этот случай не подходит ни под один из вопросов а)–в).

Ответ

а) При .
б) При и при .
в) При .

Помогло?ответ совпал с учебником

Номер 345