ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин, номер 961

№

Системы разных видов

Решить системы: 1) $\begin{cases}x^y=y^x,\\x^3=y^2;\end{cases}$ 2) $\begin{cases}x^{\sqrt y}=y,\\y^{\sqrt y}=x^4;\end{cases}$ 3) $\begin{cases}\sqrt2\sin x=\sin y,\\\sqrt2\cos x=\sqrt3\cos y;\end{cases}$ 4) $\begin{cases}x-y=-1/3,\\\cos^2\pi x-\sin^2\pi y=1/2;\end{cases}$ 5) $\begin{cases}\cos x\sin y=1/2,\\\sin2x+\sin2y=0.\end{cases}$

Решение

Для переменных в произвольных действительных степенях берём ОДЗ , .

Из следует .

Логарифмируем первое уравнение: .

Подстановка даёт .

Если , то .

Иначе , откуда , .

Подстановка подтверждает обе пары.
) ОДЗ: , .

Положим , , .

Логарифмирование даёт , .

Следовательно, .

При получаем , то есть .

При имеем , , , значит .
) Возведём оба равенства в квадрат и сложим: , то есть .

Поэтому и .

Исходные равенства дают и .

Знаки синусов и косинусов и должны совпадать.

Значит в каждом из четырёх квадрантов получаем соответствующую пару: , , , , с независимым добавлением целых периодов к каждой координате.
) Используем формулы понижения степени: .

По формуле суммы косинусов это равно .

Так как , второй множитель равен .

Следовательно, , то есть .

Решая вместе с , получаем , .
) По формуле суммы синусов .

По формуле синуса разности .

Если , то и , поэтому .

Если вместо этого , то ; равенство допускает только , , то есть уже найденный случай.

Полусумма и полуразность дают , .

Ответ

, ; ) , ; ) , , , ; ) ; ) , .

Помогло?ответ совпал с учебником

Номер 961