Номер 1264

1. ОДЗ: . Пусть . По тождеству второе уравнение даёт . Подставляем в первое, учитывая : . Раскрываем скобки: , или . Корни и ; второй невозможен для косинуса. Итак, , , следовательно, . Решаем два простейших уравнения.

2. Тангенсы должны существовать. Первое уравнение перепишем как . Правая часть не равна нулю: если бы и , получилось бы . Поэтому по формуле тангенса суммы , то есть .

Выразим и обозначим . Поскольку , второе уравнение становится . Следовательно, или . В первом случае , откуда , . Во втором , значит . Значения исключены: не существует. Поэтому ; из первого уравнения , а из второго . Это даёт .

3. ОДЗ: . Произведение обращается в нуль при или . Если , первое уравнение даёт , что невозможно. Значит, , то есть и . Первое уравнение превращается в , откуда . С учётом ОДЗ .

4. ОДЗ: для котангенса; квадратный корень неотрицателен, поэтому . Второе уравнение показывает, что . Возведём первое в квадрат: . Следовательно, , а значит . Подставляем это во второе уравнение: , откуда . Поэтому . Для и получаем соответственно . Эти пары подходят и к исходному, не возведённому в квадрат уравнению.