№ Задача на наибольшую площадь сечения
Из трёх досок одинаковой ширины сколачивается жёлоб. При каком угле наклона боковых стенок к основанию площадь поперечного сечения жёлоба будет наибольшей?
Решение
Пусть ширина каждой доски равна , а угол между боковой стенкой и основанием (внутри жёлоба) равен . Поперечное сечение жёлоба — равнобокая трапеция с нижним основанием и боковыми сторонами .
Высота трапеции . Каждая боковая стенка выступает за основание в горизонтальном направлении на (при это положительное число), поэтому верхнее основание равно . Допустимые значения угла: (при меньшем угле верхнее основание не получится положительным).
Площадь трапеции как полусумма оснований на высоту:
Находим производную:
Разложим на множители:
(проверка:
). Значит,
На
множитель
, поэтому знак
совпадает со знаком
. Он равен нулю при
, т. е.
. При
имеем
,
; при
имеем
. Знак меняется с «
» на «
»,
— точка максимума, единственная, площадь сечения наибольшая.
Угол . Тогда верхнее основание , т. е. боковые стенки образуют с основанием угол .
