№ Задача на наименьшую площадь
Равнобедренные треугольники описаны около квадрата со стороной a так, что одна сторона квадрата лежит на основании треугольника (рис. 142). Обозначая BK=x, найти такое значение x, при котором площадь треугольника наименьшая.
Решение
Пусть — равнобедренный треугольник с основанием , — его высота (она же медиана), — точка пересечения с верхней стороной квадрата. Верхняя сторона квадрата параллельна и равна , а расстояние от неё до основания равно стороне квадрата . Поэтому высота треугольника .
Верхняя сторона квадрата отсекает от треугольника меньший треугольник с вершиной , подобный (стороны параллельны, углы равны). У него основание и высота . Из подобия отношение основания к высоте одинаково:
Площадь треугольника
:
Найдём
, при котором
наименьшая на
.
Производная частного:
При
множители
,
,
положительны, поэтому знак
совпадает со знаком
. Стационарная точка
. При
имеем
, при
имеем
: знак меняется с «
» на «
»,
— точка минимума, единственная, значит, площадь наименьшая.
Тогда
,
, площадь
.
