№ Наибольшее (наименьшее) значение функции на промежутке
Найти наибольшее (или наименьшее) значение функции:
- f(x)=x2+x216 на промежутке (0;+∞);
- f(x)=x2−x2 на промежутке (−∞;0).
Решение
Если на промежутке есть единственная стационарная точка и она точка максимума (минимума), то в ней функция принимает наибольшее (наименьшее) значение на этом промежутке (§ ).
) .
На множитель , , поэтому знак совпадает со знаком . Единственная стационарная точка в промежутке — . При имеем , при имеем : производная меняет знак с «» на «», — точка минимума. Значит, это наименьшее значение:
) .
при , т. е. (это единственная стационарная точка на ). Знаменатель . При : , поэтому ; при : , поэтому . Знак меняется с «» на «», — точка максимума, и в ней функция принимает наибольшее значение:
Ответ
- наименьшее значение равно (при );
- наибольшее значение равно (при ).
