№ Выяснение пересечения фигур без построения (парабола, прямая, гипербола, окружности)
Не выполняя построения, выясните, пересекаются ли:
а) парабола y=x2−6x+8 и прямая x+y=4;
б) прямая x+y=4 и гипербола y=x3;
в) окружности x2+y2=4 и (x−3)2+y2=1;
г) окружность (x−1)2+(y−2)2=4 и прямая x+2y=3.
Если пересекаются, то укажите координаты точек пересечения. Проиллюстрируйте решение с помощью графиков.
Решение
а) Из уравнения прямой . Приравняем к уравнению параболы:
или .
Дискриминант положителен, значит фигуры пересекаются в двух точках. При : . При : .
б) Из уравнения прямой . Приравняем к уравнению гиперболы:
или .
Фигуры пересекаются в двух точках. При : . При : .
в) Первая окружность имеет центр и радиус , вторая — центр и радиус . Расстояние между центрами .
Так как , окружности касаются друг друга внешним образом — у них ровно одна общая точка. Она лежит на отрезке между центрами на расстоянии от первого центра: .
Проверим: — верно.
г) Расстояние от центра окружности до прямой :
.
Так как , прямая пересекает окружность в двух точках. Из уравнения прямой . Подставим в уравнение окружности:
, то есть или .
При : . При : .
Ответ
а) Пересекаются в точках и .
б) Пересекаются в точках и .
в) Касаются в одной точке .
г) Пересекаются в точках и .
Помогло?
Нет твоего задания?Сфоткай, и ДЗмэн решит за пару секунд.
