№ Система уравнений (симметрические системы)
Решите систему уравнений:
а) {x+xy+y=11,x−xy+y=1;
б) {2x−y−xy=14,x+2y+xy=−7;
в) {x2+y2=34,xy=15;
г) {x2−y2=12,xy=8.
Решение
а) Обозначим , . Уравнения примут вид и .
Сложим уравнения: , . Вычтем: , .
Значит , ; и — корни уравнения , то есть , или .
б) Сложим уравнения:
, значит .
Подставим во второе уравнение:
, то есть или .
При : . При : .
в) Обозначим , . Так как , получаем:
или .
При , : , , или .
При , : , , или .
г) Из второго уравнения . Подставим в первое:
, то есть или (не подходит).
, или .
При : . При : .
Ответ
а) , .
б) , .
в) , , , .
г) , .
