№ Исследование числа решений уравнения x^+ax+b= с помощью графиков
С помощью графиков выясните, сколько решений может иметь уравнение x3+ax+b=0 при различных значениях a и b.
Решение
Перепишем уравнение в виде . Тогда число решений уравнения — это число точек пересечения графика кубической параболы (кубическая парабола , растянутая и сдвинутая слагаемым ) с прямой (горизонтальной линией, если удобнее работать с и уровнем ).
Исследуем поведение функции .
Для любых :
Выражение всегда неотрицательно (и равно нулю только при ).
Случай . Тогда скобка строго положительна при (кроме, возможно, точки при , что не мешает строгому возрастанию). Значит при — функция строго возрастает на всей числовой прямой. Так как при этом при и при , график строго возрастающей непрерывной функции пересекает любую горизонтальную прямую ровно один раз. Значит при уравнение имеет ровно одно решение при любом .
Случай . Тогда при , , близких к , скобка может быть отрицательной, и функция уже не монотонна: она возрастает, затем убывает, затем снова возрастает — график имеет «горб» и «впадину» (как кубическая парабола с изгибом). Поворотные точки находятся там, где , то есть при .
Разберём на конкретном примере (поворотные точки ): , (локальный максимум), (локальный минимум).
Если значение лежит строго между локальным минимумом и локальным максимумом функции , прямая пересекает график трижды — три решения. Пример :
— три корня.
Если равно локальному минимуму или локальному максимуму, прямая касается графика в одной из поворотных точек — два различных решения (одно из них кратное). Пример :
(кратный) или — два различных решения.
Если больше локального максимума или меньше локального минимума, прямая пересекает график только один раз — одно решение. Пример :
Здесь кубическая парабола пересекает уровень только один раз (левее поворотных точек) — одно решение.
Ответ
Если — уравнение имеет ровно одно решение при любом (функция строго возрастает). Если — в зависимости от уравнение может иметь одно, два (один корень кратный) или три решения: три — когда значение лежит между локальными экстремумами функции , два — когда совпадает с одним из экстремумов, одно — в остальных случаях.
Помогло?
Нет твоего задания?Сфоткай, и ДЗмэн решит за пару секунд.
