ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин, номер 1042

№

Наибольшее и наименьшее значения тригонометрической функции

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y=\dfrac{2\cos^4x+\sin^2x}{2\sin^4x+3\cos^2x}$ .

Решение

Знаменатель положителен при любом : если , то ; если , то ; в остальных случаях оба слагаемых неотрицательны и хотя бы одно положительно. Поэтому ОДЗ — все действительные .

Положим . По основному тригонометрическому тождеству , причём . Тогда , а . Следовательно, исследуем на отрезке .

По правилу дифференцирования частного . Знаменатель положителен, поэтому функция убывает при и возрастает при . Сравним значения в критической точке и на концах отрезка: , , . По теореме о наибольшем и наименьшем значениях на отрезке минимум равен , максимум — . Все указанные значения достижимы как .

Ответ

Наибольшее значение — , наименьшее — .

Помогло?

Номер 1042