ГДЗ по алгебре 10 класс Колягин, номер 395

№

Теорема Безу и теорема Виета

Доказать, что многочлен $x^{10}+bx^9+cx^8$ делится на двучлены $x+a_1$ и $x+a_2$ , где $a_1\ne0$ , $a_2\ne0$ , тогда и только тогда, когда $b=a_1+a_2$ , $c=a_1a_2$ .

Решение

Вынесем общий множитель: . Если делится на и , то по теореме Безу . Поскольку и ненулевые, это означает и . При различных они являются двумя корнями приведённого квадратного трёхчлена; по теореме Виета сумма корней , произведение . Значит, и .

Обратно, если указанные равенства выполнены, то по распределительному закону. Следовательно, делится на каждый из двучленов.

💡 Почему так

Если , сформулированное утверждение неверно: делимость на один и тот же двучлен не требует кратного корня. Например, при , , многочлен делится на , хотя и . Для утверждения «тогда и только тогда» дополнительно необходимо либо требование делимости на произведение двучленов.

Ответ

При : , . Без условия утверждение в условии неверно.

Помогло?

Номер 395