№ Равенство отрезков касательных, проведённых из вершины угла
Две окружности с центрами O1 и O2 вписаны в угол. Одна из них касается его сторон в точках A и D, а вторая — в точках B и C. Докажите, что AB=CD.
Решение
Дано: угол с вершиной ; окружность с центром вписана в угол и касается его сторон в точках и ; окружность с центром вписана в тот же угол и касается его сторон в точках и (, — на одной стороне, , — на другой).
Найти: доказать, что .
Решение.
Отрезки и — отрезки касательных, проведённых из точки к окружности с центром , поэтому (свойство отрезков касательных, проведённых из одной точки, п. ).
Отрезки и — отрезки касательных, проведённых из точки к окружности с центром , поэтому по тому же свойству.
Так как лежит между и , а — между и (окружность с центром ближе к вершине угла), то
Поскольку
и
, получаем
, то есть
.
