№ Сумма длин параллельных отрезков между сторонами угла
На одной стороне угла от вершины отложены двенадцать равных отрезков, и через их концы (кроме вершины угла) проведены параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла. Найдите сумму длин всех параллельных отрезков, заключённых между сторонами угла, если длина наименьшего из них равна 3 см.
Решение
Пусть — вершина угла, а — концы равных отрезков на одной стороне угла, так что (). Через каждую точку проведена прямая, параллельная остальным, до пересечения с другой стороной угла в точке ; отрезок — наименьший, равный см.
Треугольники подобны (угол общий, а стороны параллельны между собой, значит соответственные углы равны), причём коэффициент подобия треугольника к треугольнику равен . Поэтому
Длины отрезков образуют арифметическую прогрессию с первым членом и разностью , в которой членов, а последний член .
Сумма длин всех отрезков:
