ГДЗ по алгебре 9 класс Макарычев, номер 643

№

Какие преобразования арифметической прогрессии сохраняют её свойство

Верно ли утверждение, что если $(a_n)$ — арифметическая прогрессия, то:
а) последовательность $a_2$ ; $a_4$ ; $...$ ; $a_{2n}$ ; $...$ является арифметической прогрессией;
б) последовательность $a_1-1$ ; $a_2-1$ ; $...$ ; $a_n-1$ ; $...$ является арифметической прогрессией;
в) последовательность $2a_1$ ; $2a_2$ ; $...$ ; $2a_n$ ; $...$ является арифметической прогрессией;
г) последовательность $a_1^2$ ; $a_2^2$ ; $...$ ; $a_n^2$ ; $...$ является арифметической прогрессией?

Решение

Пусть — арифметическая прогрессия с разностью , т. е. . Чтобы проверить, является ли новая последовательность арифметической прогрессией, найдём разность между её соседними членами и посмотрим, постоянна ли она.

а) Обозначим . Тогда

— постоянно. Значит, последовательность

является арифметической прогрессией с разностью

. Утверждение верно.

б) Обозначим . Тогда

— постоянно. Утверждение верно, разность та же —

в) Обозначим . Тогда

— постоянно. Утверждение верно, разность

г) Обозначим . Тогда

Эта разность зависит от

(так как

меняется с ростом

, если

), то есть не постоянна. Например, для прогрессии

(

) квадраты равны

, а их разности

— не одинаковы. Утверждение неверно (кроме случая

, когда все члены равны).

Ответ

а) Верно. б) Верно. в) Верно. г) Неверно (кроме тривиального случая ).

Помогло?

Номер 643