№ Период из двух осей симметрии
График функции y=f(x), x∈R, симметричен относительно каждой из прямых x=a, x=b, где a=b. Доказать, что y=f(x) является периодической, и найти её период.
Решение
Симметрия относительно вертикальной прямой означает, что точки с абсциссами и имеют одинаковые ординаты. Поэтому для любого верно . Аналогично из симметрии относительно следует .
Применим эти отражения последовательно. Сначала заменим на , затем отразим полученную абсциссу относительно : . Оба отражения сохраняют значение функции, следовательно, . Аналогично обратный порядок даёт .
Так как , число положительно. Оно удовлетворяет определению периода для всех . Следовательно, функция периодическая. Меньший период возможен при дополнительных симметриях, но указанный период гарантирован условием.
Ответ
Функция периодическая; её период .
