№ Встреча точек на окружности
Две точки A и B, находящиеся на концах взаимно перпендикулярных диаметров окружности (рис. 113), начинают одновременно двигаться по окружности: точка A — по часовой стрелке, описывая каждую минуту дугу в 20°, точка B — против часовой стрелки, описывая каждую минуту дугу в 25°. Через сколько минут произойдёт первое; второе; k-е совпадение точек?
Решение
+По рисунку точка начинает справа, а — сверху. По указанным направлениям идёт вниз по часовой стрелке, — влево против часовой стрелки. Значит, они удаляются друг от друга по короткой дуге и впервые встретятся, когда вместе пройдут оставшуюся дугу .
+
+За минуту точки вместе проходят . Поэтому время до первой встречи мин.
+
+После встречи для следующего совпадения суммарно надо пройти полный оборот . Это занимает мин. Значит, второе совпадение будет через мин от начала.
+
+Каждая новая встреча добавляет мин. Для -й встречи мин, где — натуральное число. При и снова получаем и мин.
Ответ
Первое — через мин; второе — через мин; -е — через мин.
