ГДЗ по алгебре 10 класс Колягин, номер 430

№

Окружности в угле и геометрическая прогрессия

В угол, равный $60^\circ$ , последовательно вписаны окружности, касающиеся друг друга (рис. 55). Радиус первой окружности равен $R_1$ . Найти радиусы $R_2$ , $R_3$ , …, $R_n$ , … остальных окружностей и показать, что они образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Доказать, что сумма $R_1+2(R_2+R_3+\ldots+R_n+\ldots)$ равна расстоянию от центра первой окружности до вершины угла.

Решение

Обозначим вершину угла через , центры соседних окружностей через , а их радиусы через . Центры лежат на биссектрисе угла, так как каждый центр равноудалён от обеих его сторон.

Биссектриса делит угол пополам, поэтому угол между ней и стороной равен . В прямоугольном треугольнике с гипотенузой против угла лежит радиус . По свойству катета против угла имеем .

Окружности касаются внешним образом, значит расстояние между их центрами . Центры находятся на одном луче, причём ближе к вершине, поэтому . Приравниваем: , откуда и .

Тот же довод для каждой следующей пары даёт . Следовательно, ; знаменатель по модулю меньше , значит прогрессия бесконечно убывающая.

Сумма радиусов, начиная со второго, по формуле суммы прогрессии равна . Тогда . Требуемое равенство доказано.

Ответ

; сумма равна , то есть расстоянию от центра первой окружности до вершины угла.

Помогло?

Номер 430