№ Иррациональность суммы и разности
Доказать, что если a — рациональное число, а b — иррациональное, то и сумма, и разность чисел a и b являются числами иррациональными.
Решение
Докажем утверждение от противного. Предположим сначала, что сумма рациональна. Разность двух рациональных чисел рациональна, поэтому тоже была бы рациональной. Это противоречит условию, что иррационально. Следовательно, иррационально.
Теперь предположим, что разность рациональна. По замкнутости рациональных чисел относительно вычитания число тоже было бы рациональным. Снова получаем противоречие. Значит, иррационально. Оба вывода основаны лишь на рациональности , поэтому верны для любых чисел с указанными свойствами.
