ГДЗ Геометрия 9 класс Мерзляк, номер 751

№

Фигуры, совпадающие со своим образом при гомотетии

Какие из фигур, изображённых на рисунке 235, совпадают со своими образами при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k < 0$ ? (На рисунке 235: а) два луча с общим началом $O$ — угол; б) два отрезка, пересекающиеся в точке $O$ (середине каждого); в) отрезок, не содержащий точку $O$ ; г) отрезок, серединой которого является точка $O$ ; д) отрезок, один конец которого — точка $O$ .)

Решение

Напомним: если и , то точка лежит на прямой по другую сторону от центра (векторы направлены противоположно), а (теорема .). При гомотетия — это центральная симметрия относительно .

Проверим каждую фигуру: совпадает ли она со своим образом.

а) Угол с вершиной . Образ каждого луча — луч, направленный в противоположную сторону от . Он лежит вне данного угла (получается вертикальный угол), поэтому фигура со своим образом не совпадает.

б) Каждый из двух отрезков лежит на прямой, проходящей через центр , и — его середина. При каждая точка отрезка переходит в точку, симметричную ей относительно , т. е. снова в точку этого же отрезка, причём концы отрезка меняются местами. Значит, при фигура совпадает со своим образом.

в) Отрезок не содержит и лежит по одну сторону от центра. Образ при лежит по другую сторону от , поэтому образ не совпадает с отрезком.

г) — середина отрезка. Так же, как в пункте б), при отрезок переходит сам в себя (концы меняются местами).

д) — конец отрезка. Образ лежит по другую сторону от и ни одной общей точки, кроме , с исходным отрезком не имеет, поэтому образ не совпадает с отрезком.

💡 Почему так

Фигура совпадает со своим образом при только в том случае, когда она симметрична относительно центра , т. е. при (центральная симметрия).

Ответ

б) и г) (при , т. е. при центральной симметрии относительно ).

Помогло?

Номер 751 ГДЗ Геометрия 9 класс, Мерзляк 2022, страница 186