ГДЗ Геометрия 9 класс Мерзляк, номер 668

№

Построение окружностей, симметричных данным, с помощью циркуля

Окружности с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ имеют две общие точки (рис. 180). С помощью только циркуля постройте окружности, симметричные данным относительно прямой $A B$ . ( $A$ и $B$ — общие точки окружностей.)

Решение

Дано: окружности с центрами , , пересекающиеся в точках и .

Построить: окружности, симметричные им относительно прямой , используя только циркуль.

Анализ. Осевая симметрия — движение (теорема .), поэтому образ окружности с центром и радиусом — окружность того же радиуса , центр которой — образ . Значит, достаточно построить точки и , симметричные и относительно , а затем окружности с этими центрами и теми же радиусами.

Как построить только циркулем. Точки и лежат на оси симметрии, поэтому они при симметрии остаются на месте. Движение сохраняет расстояния, поэтому и .

Строим окружность с центром и радиусом .
Строим окружность с центром и радиусом .
Эти окружности пересекаются в точке и ещё в одной точке — она и есть . Действительно, две окружности имеют не более двух общих точек, а точка удовлетворяет обоим условиям , и отлична от (точка не лежит на оси , поэтому симметричная ей точка с ней не совпадает).

Построение.

Так же строим точку (окружности с центрами и радиусов и ).
Строим окружность с центром радиуса (равного ) и окружность с центром радиуса (равного ).

Эти две окружности и есть образы данных: они проходят через и (эти точки неподвижны), а их центры — образы центров, радиусы — прежние.

Ответ

Строим точки , — вторые точки пересечения окружностей с центрами и радиусов , (и , ). Искомые окружности — с центрами , радиусов и .

Помогло?

Номер 668 ГДЗ Геометрия 9 класс, Мерзляк 2022, страница 164