Номер 677 ГДЗ Геометрия 9 класс, Мерзляк 2022, страница 165

Дано: , луч — его биссектриса, , — прямая .

Доказать: при симметрии относительно угол переходит в себя.

Доказательство.

1. Вершина лежит на оси , поэтому остаётся на месте.

2. Образ луча — луч с началом в . Симметрия — движение (теорема .), а движения сохраняют углы, поэтому образ луча образует с лучом (лежащим на оси и потому неподвижным) тот же угол, что и : . При этом он лежит в другой полуплоскости относительно (симметрия меняет полуплоскости местами).

3. Луч тоже образует с лучом угол и лежит в другой полуплоскости относительно , чем (так как — биссектриса, лучи и лежат по разные стороны от неё).

4. Два луча с началом в , лежащие в одной полуплоскости относительно и образующие с лучом равные углы, совпадают. Значит, образ луча — луч .

5. Аналогично образ луча — луч . Следовательно, угол (вместе с его внутренней областью) переходит в себя.

Итак, прямая, содержащая биссектрису угла, — его ось симметрии.