ГДЗ Геометрия 9 класс Мерзляк, номер 666

№

Построение равнобедренного треугольника с помощью осевой симметрии

Постройте равнобедренный треугольник $A B C$ по вершине $A$ , точке $K$ , принадлежащей боковой стороне $B C$ , и прямой, содержащей высоту, проведённую к основанию $A B$ (рис. 178). (На рисунке: вертикальная прямая $l$ , слева от неё точка $A$ , справа и выше — точка $K$ .)

Решение

Дано: вершина , точка , прямая , содержащая высоту, проведённую к основанию .

Построить: равнобедренный треугольник с основанием .

Анализ. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является и медианой. Значит, прямая перпендикулярна и проходит через середину , то есть — серединный перпендикуляр отрезка . По определению осевой симметрии (§ ) это означает, что вершина симметрична вершине относительно прямой .

Построение.

Строим точку , симметричную точке относительно прямой : из опускаем перпендикуляр на и на его продолжении за прямую откладываем отрезок, равный расстоянию от до .
Проводим прямую : по условию лежит на стороне , поэтому вершина лежит на этой прямой.
Вершина лежит ещё и на прямой (высота проведена из вершины ). Поэтому — точка пересечения прямых и .
Соединяем , , .

Доказательство. Точка лежит на серединном перпендикуляре отрезка , а каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка. Поэтому , треугольник равнобедренный с основанием . Высота из лежит на , точка лежит на стороне по построению, вершина дана. Все условия выполнены.

Исследование. Задача имеет решение, когда прямая пересекает (то есть не параллельна ей); тогда решение единственное.

Ответ

Построен треугольник : — точка, симметричная относительно ; — точка пересечения прямых и .

Помогло?

Номер 666 ГДЗ Геометрия 9 класс, Мерзляк 2022, страница 164