Номер 655 ГДЗ Геометрия 9 класс, Мерзляк 2022, страница 159

Дано: углы , , , (сумма ) и противоположные стороны , . Построить четырёхугольник .

Анализ. Будем считать, что (иначе , и рассуждения те же при переносе на вектор $\overrightarrow{}$). Пусть построен. Перенесём сторону на вектор $\overrightarrow{}$: , . Тогда — параллелограмм, , .

Параллелограмм имеет (сумма соседних углов равна ). Поэтому

Значит, треугольник можно построить по двум сторонам , и углу между ними . В нём находим угол . Тогда .

В точке вокруг неё три угла составляют : (противоположные углы параллелограмма равны), (сумма углов треугольника), а третий угол . Значит, треугольник можно построить по стороне и двум прилежащим углам и .

Построение.

1. Вычисляем и строим треугольник по двум сторонам , и углу . Измеряем (строим) угол .

2. На стороне , по другую сторону от прямой относительно , строим треугольник по стороне и двум прилежащим углам , . Получаем вершину .

3. Строим точку — четвёртую вершину параллелограмма : проводим через прямую, параллельную , а через — прямую, параллельную . Они пересекаются в точке .

4. Соединяем точки , , , .

Доказательство. По построению , . Угол равен . Угол равен (противоположные углы параллелограмма), угол равен , а угол равен . Все условия выполнены.

Исследование. Построение возможно, если сумма заданных углов равна и построенные треугольники существуют (в частности, и ).