Номер 663 ГДЗ Геометрия 9 класс, Мерзляк 2022, страница 163

Дано: пересекающиеся прямые и , . Построить ось симметрии , при которой — образ .

Анализ. Пусть — искомая ось. Симметричные относительно прямые и меняются местами: образом тоже является . Точка принадлежит обеим прямым, поэтому её образ принадлежит и , и , то есть совпадает с . Точка, симметричная самой себе, лежит на оси. Значит, .

Построение.

1. Проводим окружность с центром произвольного радиуса (пунктир). Она пересекает в точках и , — в точках и .

2. Треугольники и равнобедренные ( как радиусы). Находим середины и отрезков и .

3. Проводим прямые и — это биссектрисы углов и (в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой).

Обоснование. Прямая, содержащая биссектрису угла, — ось симметрии угла (п. ): она переводит одну сторону угла в другую. Поэтому переводит луч в луч , а противоположный луч — в луч , то есть прямую — в прямую . Аналогично переводит луч в луч , а — в , то есть тоже в . Прямые и перпендикулярны (биссектрисы смежных углов).

Других осей нет: ось должна проходить через и быть биссектрисой угла между и , а таких биссектрис ровно две — по одной для каждой пары вертикальных углов.