ГДЗ Геометрия 9 класс Мерзляк, номер 686

№

Образы точки при симметриях относительно сторон прямого угла

Точка $M$ принадлежит прямому углу $A B C$ (рис. 183). Точки $M_{1}$ и $M_{2}$ — образы точки $M$ при симметрии относительно прямых $B A$ и $B C$ соответственно. Докажите, что точки $M_{1}$ , $B$ , $M_{2}$ лежат на одной прямой.

Решение

Дано: , точка внутри угла, симметрична относительно , симметрична относительно .

Доказать: , , лежат на одной прямой.

Доказательство.

Точка лежит на обеих осях ( и ), поэтому остаётся на месте. Симметрия — движение (теорема .) и сохраняет расстояния, поэтому , .
Симметрия сохраняет углы. Лучи и симметричны относительно прямой , поэтому . Аналогично .
Лучи расположены в таком порядке: , , , , (точки и лежат по разные стороны от прямой , точки и — по разные стороны от прямой ). Поэтому
Подставляя и , получаем

Угол развёрнутый, то есть лучи и дополняют друг друга до прямой. Значит, точки , , лежат на одной прямой (причём — середина , так как ).

Ответ

Доказано: , поэтому , , лежат на одной прямой.

Помогло?

Номер 686 ГДЗ Геометрия 9 класс, Мерзляк 2022, страница 165