ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин, номер 19

№

Периоды суммы и произведения

Найти наименьший положительный период функции: 1) $y=\sin x+\cos x$ ; 2) $y=\sin x+\operatorname{tg}x$ ; 3) $y=\sin x\cdot\sin3x$ ; 4) $y=2\operatorname{tg}\frac x2-3\operatorname{tg}\frac x3$ .

Решение

Формула сложения даёт . Сдвиг аргумента на — наименьший, сохраняющий синус, значит, .
ОДЗ: . Сдвиг на сохраняет область и обе части суммы. Любой период обязан сохранять последовательность исключённых точек, значит, имеет вид . При тангенс не меняется, а синус меняет знак; например, при значения суммы различны на . Поэтому наименьший положительный период .
По формуле произведения синусов . Обе части повторяются через . Чтобы исключить меньший период, заметим, что , а нули вблизи нуля образуются только при или . Положительный период должен переводить нуль при в нуль, то есть быть кратным . Проверяем : , а ; значения не равны. При получаем также неравенство: , . Значит, наименьший период — .
Первый тангенс не определён при , второй — при . Эти наборы не пересекаются, поэтому разрывы суммы остаются. Вблизи разрыва первого слагаемого слева значения суммы растут без границы, а вблизи разрыва второго слева убывают без границы: коэффициенты и имеют разные знаки. Поэтому период не может перевести разрыв первого вида в разрыв второго; он обязан сохранять каждый набор отдельно. Для первого это требует сдвига, кратного , для второго — кратного . Наименьший общий положительный кратный равен . Проверяем значение: и . Значит, действительно период.

Ответ

;
;
;
.

Помогло?

Номер 19