ГДЗ Алгебра 10-11 класс Алимов, номер 1262

№

Иррациональные числа, доказательство

Пусть $a$ — рациональное число, $b$ — иррациональное число, $a\ne0$ , $b\ne0$ . Доказать, что $a+b$ , $a\cdot b$ , $\frac ab$ , $\frac ba$ — иррациональные числа.

Решение

Доказываем каждое утверждение методом от противного. Напомним: сумма, разность, произведение и частное (делитель не нуль) рациональных чисел — рациональные числа.

Пусть — рациональное число. Тогда — разность двух рациональных чисел, то есть рациональное число. Это противоречит тому, что иррационально. Значит, иррационально.
Пусть рационально. Так как рационально, то — частное рациональных чисел — рационально. Противоречие. Значит, иррационально.
Пусть рационально. Так как , то , и — частное рациональных чисел — рационально. Противоречие. Значит, иррационально.
Пусть рационально. Тогда — произведение рациональных чисел — рационально. Противоречие. Значит, иррационально.

💡 Почему так

В каждом случае из предположения о рациональности результата получаем рациональность , что противоречит условию.

Ответ

Доказано.

Помогло?

Номер 1262 ГДЗ Алгебра 10–11 класс, Алимов 2023, страница 403